3.305 \(\int \frac{(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt{1+\sec (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=73 \[ -\frac{\tan (e+f x) F_1\left (n;\frac{1}{2},1;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[
e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0685992, antiderivative size = 73, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.087, Rules used = {3827, 133} \[ -\frac{\tan (e+f x) F_1\left (n;\frac{1}{2},1;n+1;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{\sec (e+f x)+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d*Sec[e + f*x])^n/Sqrt[1 + Sec[e + f*x]],x]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[
e + f*x]]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]))

Rule 3827

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(a^2*
d*Cot[e + f*x])/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]]), Subst[Int[((d*x)^(n - 1)*(a + b*x)^(m -
1/2))/Sqrt[a - b*x], x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 133

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^n*e^p*(b*x)^(m +
1)*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, -((d*x)/c), -((f*x)/e)])/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt{1+\sec (e+f x)}} \, dx &=-\frac{(d \tan (e+f x)) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{(d x)^{-1+n}}{\sqrt{1-x} (1+x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ &=-\frac{F_1\left (n;\frac{1}{2},1;1+n;\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt{1-\sec (e+f x)} \sqrt{1+\sec (e+f x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.19341, size = 2951, normalized size = 40.42 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(d*Sec[e + f*x])^n/Sqrt[1 + Sec[e + f*x]],x]

[Out]

(3*Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n
*Sec[e + f*x]^(-1/2 - n + (-1 + 2*n)/2)*(d*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Tan[(e + f*x)/2
])/(f*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3
/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan
[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*
x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*
n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*Sqrt
[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(
e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Sin[e + f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan
[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]
]*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1
+ n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2,
1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*Cos[e + f*x]*(
Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*(-((1 - n)*A
ppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2
])/3 + ((-1/2 + n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2
]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2
*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3
/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*Sqrt[2]*AppellF1[1
/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e
+ f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*((2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 -
n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)
/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-((1 - n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3 + ((-1/2 + n)*AppellF1[3
/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + Ta
n[(e + f*x)/2]^2*(2*(-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, -1/2 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-1/2 + n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*
x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (-1 + 2*n)*((-3*(1 - n)*AppellF1[5/2,
1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1/2
+ n)*AppellF1[5/2, 3/2 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e +
f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*A
ppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n
, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 -
n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*T
an[(e + f*x)/2]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e
+ f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e
+ f*x)/2]^2)) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[
e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x
)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*Ap
pellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 +
n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.177, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{ \left ( d\sec \left ( fx+e \right ) \right ) ^{n}{\frac{1}{\sqrt{1+\sec \left ( fx+e \right ) }}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

int((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt{\sec \left (f x + e\right ) + 1}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt{\sec \left (f x + e\right ) + 1}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec{\left (e + f x \right )}\right )^{n}}{\sqrt{\sec{\left (e + f x \right )} + 1}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))**n/(1+sec(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((d*sec(e + f*x))**n/sqrt(sec(e + f*x) + 1), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt{\sec \left (f x + e\right ) + 1}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(1+sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(sec(f*x + e) + 1), x)